불확실성 아래에서는 기대값과 정보의 가치를 비교합니다

수요가 얼마일지 모르는 상태에서도 결정은 내려야 합니다. 관리회계는 상황(상태)별 결과와 확률을 성과표로 정리하고, 대안별 기대이익(또는 기대비용)을 비교합니다. 그 다음 질문이 "미래를 미리 알려 주는 정보에 얼마까지 낼 수 있는가"입니다. 완전정보의 기대가치(EVPI)는 정보가 있을 때의 기대이익에서 정보가 없을 때의 최선 기대이익을 뺀 값입니다.

이 장은 성과표와 기대값, 완전정보와 불완전정보(베이즈 정리), 공정 조사 의사결정, 균등분포·정규분포를 이용한 CVP 확률, 보상안 선택을 다룹니다. 기대값 기준은 위험중립을 전제로 합니다. 한 번의 실행에서 기대값이 보장되는 것은 아닙니다.

수요가 높을 확률 40%, 낮을 확률 60%이고 대규모안 90,000/−20,000원, 소규모안 45,000/15,000원이라면 기대이익은 대규모 24,000원, 소규모 27,000원이므로 무정보 최선은 소규모입니다. 완전정보가 있으면 높은 수요에 대규모, 낮은 수요에 소규모를 골라 90,000 × 0.4 + 15,000 × 0.6 = 45,000원이고, EVPI는 45,000 − 27,000 = 18,000원입니다. 소규모안의 기대후회도 (90,000 − 45,000) × 0.4 = 18,000원으로 같습니다.

같은 자료를 후회표(기회손실표)로 바꾸면 다음과 같습니다. 각 상태에서 최선 성과와의 차이를 적은 것입니다.

기대후회가 가장 작은 대안(소규모)이 기대이익이 가장 큰 대안과 같고, 그 최소 기대후회 18,000원이 EVPI입니다. 계산이 막히면 두 방법으로 서로 검산합니다.

조사기관의 예측이 틀릴 수 있으면, 예측 신호별로 실제 상태의 확률(사후확률)을 구한 뒤 신호마다 최선 대안을 다시 고릅니다.

조사하면 조사비가 들고, 비정상이면 교정비가 추가됩니다. 조사하지 않았는데 비정상이면 손실이 납니다. 비정상 확률을 p라 하면 기대비용은 조사 = 조사비 + p × 교정비, 무조사 = p × 손실입니다. 완전정보가 있으면 정상일 때는 조사하지 않고(0원), 비정상일 때만 조사·교정합니다. 이때도 조사비는 여전히 듭니다. 정보가 조사를 대체한다는 별도 조건이 없으면 조사비를 지우지 않습니다.

예를 들어 비정상이면 조사하지 않았을 때 50,000원 손실, 조사비 8,000원, 무조사 기대비용 15,000원, 조사 기대비용 14,000원이라면 p = 15,000 ÷ 50,000 = 30%, 교정비 R은 8,000 + 0.3R = 14,000에서 20,000원입니다. 무정보에서는 조사(14,000원)를 택합니다. 완전정보가 있으면 비정상일 때만 조사·교정해 28,000원, 기대비용 0.3 × 28,000 = 8,400원이므로 정보가치는 14,000 − 8,400 = 5,600원입니다. 무조사 15,000원을 기준으로 잡은 6,600원, 비정상일 때 조사비를 지운 8,000원은 모두 틀린 값입니다.

기대값 기준은 같은 결정을 여러 번 반복한다고 볼 때 평균 성과를 극대화합니다. 한 번의 손실로 도산할 수 있는 기업은 기대값이 조금 작더라도 최악의 결과가 덜 나쁜 대안을 고를 수 있습니다(위험회피). 이때는 대안별 결과의 분산이나 최소 성과를 함께 봅니다. 시험 문제는 별도 언급이 없으면 위험중립(기대값 극대화)을 전제로 합니다. 확률이 주어지지 않는 상황의 결정기준(최대최소, 최대최대, 최소최대후회)은 기대값과 다른 질문이므로, 문제가 어떤 기준을 요구하는지 먼저 확인합니다.

정규분포표가 왼쪽 누적확률 P(Z ≤ z)인지 평균부터의 면적인지 확인합니다. 목표 "이상" 달성은 오른쪽 꼬리이고, 경계가 평균보다 아래면 50%보다 큽니다. 균등분포에서는 기대값이 양 끝의 평균이며, 기대이익이 0이라고 손실확률이 0인 것은 아닙니다.

정규분포 예에서 단위공헌이익 20원, 고정원가 14,000원이면 목표이익 8,000원에 필요한 수량이 1,100개였습니다. 평균 1,000개에서의 기대이익은 6,000원이므로 8,000원은 평균보다 높은 목표이고, 달성확률이 50%보다 작아야 합니다. 표의 84.13%를 그대로 답하면 방향을 뒤집은 것입니다. 균등분포에서 목표 매출이 분포의 상한을 넘으면 달성확률은 0%이며 음의 확률을 답하지 않습니다.

고정급 방안과 성과급 방안은 기대판매량으로 기대이익을 비교합니다. 성과급이 매출액의 일정 비율이면 단위공헌이익에서 가격 × 비율을 뺍니다. 두 방안의 이익이 같아지는 판매량을 구해 두면 확률분포의 범위와 비교해 결론을 빨리 확인할 수 있습니다. 가격 100원, 제조변동원가 45원, 고정제조원가 2,000원, 판매량 400개(60%)·500개(40%), A안 고정급 15,000원, B안 고정급 8,000원 + 매출의 20%이면 기대판매량 440개에서 A 7,200원, B 5,400원이고, 무차별점 350개보다 두 상태 모두 크므로 A가 유리합니다.

2025년 1차 문36. 조사비 10,000원, 비정상인데 조사하지 않으면 손실 70,000원, 조사 기대비용 19,000원, 무조사 기대비용 21,000원. 완전정보의 최대 지불액은?

답안 예시(자체 풀이, 최종정답과 일치)

• 무조사 21,000 = p × 70,000 → p = 0.3. 조사 19,000 = 10,000 + 0.3 × 교정비 → 교정비 30,000원.
• 완전정보: 비정상(0.3)일 때 조사·교정 40,000원(< 70,000), 정상일 때 0원 → 기대비용 12,000원.
• EVPI = 19,000 − 12,000 = 7,000원(③). 무조사 21,000원을 기준으로 잡으면 9,000원(⑤)이라는 오답입니다.

2023년 1차 문38. 호황 0.4·불황 0.6, 기계 A 9,000/1,000원, 기계 B 7,000/K원, A의 기대이익이 더 크고 불황에서는 B가 더 크며 EVPI 600원. A 기대값 4,200원, 완전정보 기대값 3,600 + 0.6K. 0.6K − 600 = 600 → K = 2,000원(②). B 기대값 4,000원 < 4,200원으로 조건도 성립합니다(자체 풀이, 최종정답과 일치).

2024년 1차 문35. 가격 2,000원, 변동원가 1,000원, 월 고정원가 3,000,000원, 판매량 N(4,200, 800). 목표 400,000원 이상 → 3,400개 이상, z = −1 → P = 84.1%(②)(자체 풀이, 최종정답과 일치).

2025년 1차 문35. 가격 400원, 변동원가 220원, 고정원가 1,080,000원, 매출 1,000,000~3,000,000원 균등분포(판매량 2,500~7,500개). 3,000개 이하 500 ÷ 5,000 = 10%, 손익분기 6,000개 이상 1,500 ÷ 5,000 = 30% → 40%(①)(자체 풀이, 최종정답과 일치).

2026년 1차 문40. 단위 변동제조원가 1,000원, 가격 2,000원, 고정제조간접원가 5,000원, 판매 50단위(0.4)·60단위(0.6). 방안1 고정급 40,000원: 56 × 1,000 − 45,000 = 11,000원. 방안2 고정급 20,000원 + 매출의 20%: 56 × 600 − 25,000 = 8,600원. → 11,000원(⑤)(자체 풀이, 최종정답과 일치).

2021년 1차 문33. 가격 10원, 변동원가 8원, 추가 고정원가 각 200,000원. 하늘색 기대수요 = 0.2 × 100,000 + 0.2 × 200,000 + 0.4 × 300,000 + 0.2 × 400,000 = 260,000단위, 핑크색 = 0.1 × 50,000 + 0.1 × 100,000 + 0.2 × 200,000 + 0.2 × 300,000 + 0.4 × 400,000 = 275,000단위. 단위공헌이익과 고정원가가 같으므로 차이는 15,000 × 2 = 핑크색, 30,000원 유리(①)입니다. 두 제품의 기대이익을 각각 구할 필요 없이 차이만 계산하면 됩니다(자체 풀이, 최종정답과 일치).

2023년 2차 문제4 물음3. 제품 A 수요 불황(5,000개) 40%·호황(15,000개) 60%. 이익: 자동화 65,000/160,000, 반자동화 90,000/100,000, 수작업 75,000/80,000원.

답안 예시(자체 풀이)

• (1) 수작업은 두 상태 모두 반자동화보다 이익이 작아 지배됩니다 → 수작업 제외.
• (2) 무정보: 자동화 122,000원, 반자동화 96,000원 → 자동화. 완전정보: 0.4 × 90,000 + 0.6 × 160,000 = 132,000원. EVPI 10,000원.
• (3) 문제는 R1 예측 시 반자동화의 기대이익을 92,727원으로 제시합니다. 이 값은 적중률을 P(R1｜불황) = P(R2｜호황) = 0.8로 읽을 때 나옵니다. P(R1) = 0.4 × 0.8 + 0.6 × 0.2 = 0.44, P(불황｜R1) = 0.32 ÷ 0.44 = 0.727 → 반자동화 0.727 × 90,000 + 0.273 × 100,000 = 92,727원으로 일치합니다.
• ① R2: P(R2) = 0.56, P(불황｜R2) = 0.08 ÷ 0.56 = 0.143, P(호황｜R2) = 0.857. 자동화 0.143 × 65,000 + 0.857 × 160,000 ≈ 146,429원(반자동화 약 98,571원) → 자동화.
• ② 정보가 있을 때 0.44 × 92,727 + 0.56 × 146,429 = 40,800 + 82,000 = 122,800원. 불완전정보의 기대가치 122,800 − 122,000 = 800원.

무정보는 기대값의 최댓값, 완전정보는 최댓값의 기대값, 그 차이가 EVPI입니다. 불완전정보는 사후확률로 신호마다 다시 고르고, 분포 문제는 경계값부터 구해 구간 길이나 z값으로 확률을 읽습니다.